Công thức

Phương trình logarit, bất phương trình logarit và bài tập áp dụng – Toán 12

Rate this post

Để có thể giải được các phương trình và bất phương trình logarit các em cần nắm vững kiến thức về hàm số logarit đã được chúng ta ôn ở bài viết trước, nếu chưa nhớ các tính chất của hàm logarit các em có thể xem lại Tại Đây.

I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Xem thêm: Công thức bất phương trình logarit

1. Phương trình Logarit cơ bản

+ Phương trình logax = b (0<a≠1) luôn có nghiệm duy nhất x = ab với mọi b

2. Bất phương trình Logarit cơ bản

+ Xét bất phương trình logax > b:

– Nếu a>1 thì logax > b ⇔ x > ab

– Nếu 0<a<1 thì logax > b ⇔ 0 < x < ab

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Giải phương trình logarit, bất PT logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số

logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x)

logaf(x) = b ⇔ f(x) = ab

+ Lưu ý: Đối với các PT, BPT logarit ta cần đặt điều kiện để các biểu thức logaf(x) có nghĩa, tức là f(x) ≥ 0.

2. Giải phương trình, bất PT Logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

+ Với các phương trình, bất PT logarit mà có thể biểu diễn theo biểu thức logaf(x) thì ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ t = logaf(x).

Xem thêm  8 Công Thức Nước Ép Rau Quả Đơn Giản, Ngon Nhất

+ Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức logaf(x) có nghĩa là f(x) > 0, chúng ta cần phải chú ý đến đặc điểm của PT, BPT logarit đang xét (có chứa căn, có ẩn ở mẫu hay không) khi đó ta phải đặt điều kiện cho các PT, BPT này có nghĩa.

3. Giải phương trình, bất PT logarit bằng phương pháp mũ hoá

+ Đôi khi ta không thể giải một phương trình, bất PT logarit bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể đặt x = at PT, BPT cơ bản (phương pháp này gọi là mũ hóa)

+ Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường chứa nhiều cơ số khác nhau

II. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VÀ BẤT PT LOGARIT

* Giải PT, BPT Logarit áp dụng phương pháp cùng cơ số

Bài tập 1: Giải các phương trình sau

a) log3(2x+1) = log35

b) log2(x+3) = log2(2×2-x-1)

c) log5(x-1) = 2

d) log2(x-5) + log2(x+2) = 3

* Lời giải:

a) ĐK: 2x+1 > 0 ⇔ x>(-1/2)

PT ⇔ 2x+1 = 5 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 (thoả ĐK)

b) ĐK: x+3>0, 2×2 – x – 1 > 0 ta được: x>1 hoặc (-3)<x<(-1/2)

Ta có: log2(x+3) = log2(2×2-x-1) ⇔ x+3 = 2×2 – x – 1 ⇔ 2×2 – 2x – 4 = 0

Xem thêm  Nồng độ phần trăm là gì? Công thức, Hướng dẫn tính & Lưu ý khi tính

⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔ x = -1 (thoả) hoặc x = 2 (thoả)

c) ĐK: x – 1 > 0 ⇔ x > 1

Ta có: log5(x-1) = 2 ⇔ x-1 = 52 ⇔ x = 26 (thoả)

HOT: Giá cost là gì? Cách tính cost món ăn, đồ uống chính xác nhất

d) ĐK: x-5 > 0 và x + 2 > 0 ta được: x > 5

Ta có: log2(x-5) + log2(x+2) = 3 ⇔ log2(x-5)(x+2) = 3 ⇔ (x-5)(x+2) = 23

⇔ x2 – 3x -18 = 0 ⇔ x = -3 (loại) hoặc x = 6 (thoả)

* Giải phương trình Logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài tập 2: Giải các phương trình sau

a)

b)

c)

d)

e) 1 + log2(x-1) = log(x-1)4

* Lời giải:

a) ĐK: x>0

Ta đặt t=log3x khi đó PT ⇔ t2 + 2t – 3 = 0 ⇔ t =1 hoặc t = -3

Với t = 1 ⇔ log3x = 1 ⇔ x = 3

Với t = -3 ⇔ log3x = -3 ⇔ x = 3-3 = 1/27

b) 4log9x + logx3 – 3 = 0 ĐK: 0<x≠1

PT ⇔ 2log3x + 1/log3x -3 = 0

Ta đặt t = log3x khi đó PT ⇔ 2t + 1/t – 3 = 0 ⇔ 2t2 – 3t + 1 = 0 ⇔ t=1 hoặc t = 1/2

Với t = 1 ⇔ log3x = 1 ⇔ x = 3 (thoả)

Với t = 1/2 ⇔ log3x = 1/2 ⇔ x = √3 (thoả)

c) ĐK: log3x có nghĩa ⇔ x > 0

Các mẫu của phân thức phải khác 0: (5+log3x)≠0 và (1 +log3x)≠0 ⇔ log3x ≠ -5 và log3x ≠ -1

Ta đặt t = log3x (t ≠ -1, t ≠ -5) khi đó:

Xem thêm  Cách phối trộn phân đơn theo công thức

⇔ (1+t) +2(5+t)=(1+t)(5+t) ⇔ 3t + 11 = t2 + 6t + 5 ⇔ t2 + 3t – 6 = 0

⇔ (thoả ĐK)

thay t=log3x ta được kết quả: x =3t1 và x =3t2

d) ĐK: x>0

PT⇔

Đặt t=log2x Ta được PT: t2 + t – 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2

Với t = 1 ⇔ x = 2

Với t = -2 ⇔ x = 1/4

e) 1 + log2(x-1) = log(x-1)4

ĐK: 0<(x-1)≠1 ⇔ 1<x≠2

Xem ngay: Công thức tính diện tích hình elip và phương trình elip – Diện tích

Đặt t = log2(x-1) ta có PT: 1+t = 2/t ⇔ t2 + t – 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2

Với t = 1 ⇔ x-1 = 2 ⇔ x = 3

Với t = -2 ⇔ x-1 = 1/4 ⇔ x= 5/4.

* Giải phương trình Logarit áp dụng phương pháp mũ hoá

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

a) ln(x+3) = -1 + √3

b) log2(5 – 2x) = 2 – x

* Lời giải:

a) ĐK: x-3>0 ⇔ x>3 với điều kiện này ta mũ hóa 2 vế của PT đã cho ta được PT:

(thoả)

b) log2(5 – 2x) = 2 – x

ĐK: 5 – 2x > 0 ⇔ 2x < 5

PT ⇔

Đặt t=2x (t>0,t<5 do 2x<5) ta được: 5 – t = (4/t) ⇔ t2 – 5t + 4 = 0

⇔ t = 1 (thoả) hoặc t =4 (thoả)

Với t = 1 ⇔ x = 0

Với t = 4 ⇔ x = 2

Bài tập 4: Giải các bất phương trình sau

a) log0,5(x+1) ≤ log2(2-x)

b) log2x – 13logx + 36 > 0

Lời giải:

Xem thêm  Thặng dư tiêu dùng là gì? Lý thuyết thặng dư người tiêu dùng?

a) ĐK: x+1>0 và 2-x>0 ⇔ -1<x<2

log0,5(x+1) ≤ log2(2-x) ⇔ -log2(x+1)≤ log2(2-x) ⇔ log2(2-x) + log2(x+1) ≥ 0

⇔ log2(2-x)(x+1) ≥ 0 ⇔ (2-x)(x+1) ≥ 1 ⇔ -x2 – x +1 ≥ 0 ⇔ ≤x≤

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là:

b) ĐK: x>0

Đặt t =logx khi đó: t2 – 13t + 36 = 0 ⇔ t < 4 hoặc t > 9

Với t < 4 ta có: logx < 4 ⇔ x < 104

Với t > 9 ta có: logx > 9 ⇔ x > 109

Kết hợp với điều kiện bất phương trình có tập nghiệm là:

Bài tập 5: Giải các bất phương trình (các em tự giải)

a) ≤2

b) >8

c) ≤2

d) <0

HOT: Cấu trúc too to: Quá…đến nỗi không thể làm gì…

Hà My

Hà My Chia sẻ với các bạn Blog tổng hợp chia sẽ kiến thức, giải trí… Được cập nhật tin mới mỗi ngày.

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button